素因数分解・素数ゲーム

素因数分解・素数ゲームの遊び方

このゲームは、素数と素因数分解を手を動かしながら覚えるための、ひとり用の練習ゲームです。遊び方は3つあります。数を素数で次々に割って「素数だけのかけ算」に直す素因数分解、出てきた数が素数かどうかを60秒のあいだに答え続ける素数あて、1〜100の表から素数でない数を消していく素数のふるいです。登録やダウンロードはいりません。パソコン・タブレット・スマホのどれでも遊べます。

素数とは、1より大きい整数のうち、1とその数自身のほかに約数（割り切れる数）をもたない数のことです。2・3・5・7・11・13…と続きます。1は素数に入れません。素数でない数（4・6・8・9・10…）は、いくつかの素数のかけ算で表せます。これを素因数分解といい、どんな順番で割っても、最後に出てくる素数の組み合わせはただ1通りに決まります。

素因数分解のやり方（因数の木）

「素因数分解」を選んで「はじめる」を押すと、問題の数が青い枠に入って出てきます。下に並んだ素数のボタン（2・3・5・7・11・13・17・19・23）から、その数を割り切れる素数を1つ押しましょう。正しければ、左下に丸で囲んだ素数、右下に割った答えが出て、今度はその答えが青い枠に入ります。これをくり返して、右の数が素数になったら「これは素数」を押すと1問終わりです。残った素数と同じ数のボタンを押しても終わりになります。

終わると、画面の下に「360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5」のように、かけ算の形と、同じ数をまとめた累乗の形が出ます。1回は10問で、全部終わるまでの時間を計ります。

はしご算（すだれ算）の形でも

設定の「書き方」を「はしご算」にすると、割り算を逆さにした形（「連除法」ともいいます）で表示されます。左に割った素数、その下に割った答えが続き、いちばん下が素数になったら終わりです。答えは、左に並んだ素数といちばん下の素数をすべてかけ合わせたものになります。押すボタンも答えも因数の木と同じなので、学校で習った書き方に合わせて選んでください。

まちがえたときは「どの素数で割れるか」が出ます

割り切れない素数を押すと、赤い字で「なぜ割れないか」、その下に「どの素数なら割れるか」と見分け方が出ます。まだ分けられる数で「これは素数」を押したときも同じです。どこから手をつければよいか分からないときは「ヒント」を押すと、一の位や各位の数の和など、見るところを教えてくれます。まちがいとヒントは1回ごとに5秒を記録に足すので、記録は「かかった時間＋（まちがい＋ヒント）×5秒」です。

2・3・5で割れるかの見分け方

素因数分解が速くなるいちばんの近道は、小さい素数で割れるかどうかを一目で見分けることです。

• 2で割れる数: 一の位が 0・2・4・6・8（偶数）の数。136 は一の位が 6 なので 2 で割れます。
• 3で割れる数: 各位の数を足した和が 3 の倍数になる数。126 は 1＋2＋6＝9 なので 3 で割れます。和が大きいときは、和の数でもう一度足すと分かりやすくなります。
• 5で割れる数: 一の位が 0 か 5 の数。
• 7・11・13 などの素数: 決まった見分け方もありますが、実際に割ってみるのがいちばん確かです。91＝7×13、143＝11×13、221＝13×17 のように、2・3・5 で割れないのに素数ではない数は、よくひっかかるので覚えておくと役に立ちます。

ある数が素数かどうかを確かめるときは、小さい素数から順に割っていき、p×p がその数をこえたところでやめてよいのがポイントです。97 なら、2・3・5・7 のどれでも割れず、次の 11 は 11×11＝121 が 97 より大きいので、ここで 97 は素数と決まります。

素数あての遊び方

画面に数が1つずつ出てくるので、素数なら「素数」、そうでなければ「素数でない」を押します。3・2・1の合図のあと、持ち時間は60秒。正しく答えられた数が記録になります。まちがえると時計が止まって、「91 は素数ではありません。2・3・5 では割れませんが、7 で割れます」のように理由が出ます。読んだら「次へ」を押してください。まちがい1回ごとに持ち時間が5秒へるので、あてずっぽうで速く押すより、確かめてから答えたほうが結果はよくなります。

やさしい（2けた）では 1 も出てきます。1 は素数ではないので「素数でない」が正解です。パソコンでは F キー（または ←）で「素数」、J キー（または →）で「素数でない」と答えられます。

エラトステネスのふるい

「素数のふるい」は、1〜100 の表から素数だけを残していく、昔からある素数の見つけ方です。まず 1 を押して消します（1 は素数ではありません）。次に、消えていない数のうちいちばん小さい 2 に○をつけ、2 の倍数（4・6・8…100）を押して消します。続けて、残っているいちばん小さい数 3 に○をつけて 3 の倍数を、5、7 と同じようにくり返します。

7 の倍数を消し終わって次の 11 に○をつけると、11×11＝121 が 100 より大きいので、11 の倍数はすでに全部消えています。ここで残った数がすべて素数と分かり、自動で○がつきます。1〜100 の素数は 25 個です。消した数には、どの素数の倍数として消したかが小さな数字と線の色で残るので、「49 は 7 で初めて消える」「91 も 7 の倍数」といったことが表の上で確かめられます。倍数を1つずつ押すのが大変なときは、設定で「まとめて消す」を選ぶと、素数に○をつけるだけでその倍数が自動で消えます。

難しさと記録

素因数分解の問題は、最後に残る素数より前の素数がすべてボタンの素数（23まで）になるように作ってあり、最後に残る数は 97 までの素数です（表の素数の個数は、360＝2×2×2×3×3×5 なら6個のように、同じ素数も1個ずつ数えています）。素数あてでは、どの難しさでも出てくる数のおよそ半分が素数で、素数でない数には、一の位や各位の和ですぐ分かる数と、7 や 11 などで初めて割れる数がまざっています。

記録は「遊び方と難しさ」の組み合わせごとに残り、よい記録が出ると「自己ベスト更新」の印が付きます。「今日の問題」を選ぶと、同じ日ならだれが遊んでも同じ問題（3けた）が出ます。家族や友だちと同じ日に遊んで、記録をくらべられます。

印刷用のプリント

ゲームの下の「印刷用」を押すと、素因数分解の問題（12問・24問）、素数に○をつける素数さがし（40個・80個）、エラトステネスのふるいの表を印刷できます。答えは問題とは別のページに出るので、配ってから答えのページだけ後で渡すこともできます。開くたびに問題が変わり、「別の問題にする」で作り直せます。

ほかの計算ゲームとのちがい

このサイトの「暗算タイムアタック」は、たし算・ひき算・かけ算・わり算の式を時間内に何問解けるかに挑戦するゲームです。「計算マス」は、縦と横の数を組み合わせてマス目を埋める計算練習です。どちらも計算の速さと正確さをきたえるのに対して、素因数分解・素数ゲームは「数がどんな素数からできているか」という数の性質を考える練習です。わり算の暗算が速くなると素因数分解も速くなるので、組み合わせて遊ぶのもおすすめです。

素因数分解のコツ

1. 小さい素数から順に割る

どの順番で割っても答えは同じですが、2→3→5→7 と小さい素数から順に試すと、見落としがなくなります。2 で割れるうちは 2 で割り続け、割れなくなったら 3 へ、という進め方がいちばん確実です。

2. 一の位と各位の和を先に見る

一の位が 0 なら 2 と 5 の両方で割れます。各位の和が 9 の倍数なら、3 で2回割れます。割り算をする前に数字を見るくせをつけると、ぐっと速くなります。

3. 10 や 100 に分けて考える

360 は 36×10、36 は 6×6 と、知っているかけ算に分けてから素数にしていくと、頭の中で整理しやすくなります。10＝2×5、100＝2²×5² です。

4. 最後の数が素数かを確かめる

最後に残った数が 51（＝3×17）や 91（＝7×13）のような「素数に見える数」でないか、p×p がその数をこえるまで割って確かめましょう。

5. 答えは累乗の形にまとめる

2×2×2×3×3×5 は 2³×3²×5 とまとめるのが、学校の答えの書き方です。小さい素数から順に並べると、見直しもしやすくなります。

6. 平方数・よく出る数を覚えておく

49＝7²、121＝11²、169＝13²、64＝2⁶、81＝3⁴ などを覚えておくと、素数あてでも素因数分解でも迷いが減ります。

よくある質問

素因数分解は何年生で習いますか？

いまの学習指導要領では、素数と素因数分解は中学1年の数学で習います（以前は素因数分解が中学3年、素数という言葉が小学5年でした）。小学校で習う約数・倍数・最大公約数・最小公倍数を、素数を使って見直す内容です。

1 は素数ですか？

1 は素数ではありません。素数は「1より大きい」整数で、約数が1とその数自身の2つだけの数です。1 を素数に入れると、6＝2×3＝1×2×3 のように素因数分解が1通りに決まらなくなるため、1 は素数から外すことになっています。

答えはどう書けばいいですか？

同じ素数はまとめて累乗（指数）の形にし、小さい素数から順に「×」でつなぎます。360 なら 2³×3²×5 です。ゲームでは、1問終わるごとにこの形で答えが出ます。

因数分解とはちがうのですか？

因数分解は、式（x²＋5x＋6 など）をかけ算の形に直すことで、中学3年で習います。素因数分解は、自然数を素数のかけ算に直すことです。「かけ算の形に分ける」という考え方は同じです。

素因数分解は何に使いますか？

約数をすべて見つける、最大公約数・最小公倍数を求める、分数を約分する、平方根を簡単にする（√72＝6√2）など、中学・高校の数学のいろいろな場面で使います。大きな数の素因数分解がとても難しいことは、インターネットの暗号の安全を支える仕組みにも使われています。

記録はどこに残りますか？

記録や途中の状態は、遊んでいる端末のブラウザの中だけに保存されます。途中で「設定」を押したりページを閉じたりしても、「続きから」で再開できます。名前の登録やログインはいりません。

素数とエラトステネスのふるいの由来

素数は、2000年以上前の古代ギリシャで、すでに研究されていたとされています。「素数は限りなくある」ことの証明は、ユークリッドの『原論』に書かれていることで知られています。1〜100 の表から倍数を消していく方法は、紀元前3世紀ごろのギリシャの学者エラトステネスが考えたと伝えられ、「エラトステネスのふるい」と呼ばれています。ふるいで粉をふるうように、素数でない数を落として素数だけを残すことから、この名前が付いたといわれます。