虫食い算・覆面算

虫食い算・覆面算の遊び方

虫食い算と覆面算は、どちらも「計算の式から、かくれた数字を推理する」算数パズルです。虫食い算は、筆算の数字のところどころが□になっていて、そこに入る数字を考えます。覆面算は、筆算の数字が文字に置きかわっていて、どの文字がどの数字なのかを当てます。使うのはたし算・ひき算・かけ算・わり算だけですが、ふつうの計算問題とちがって「答えから式を逆にたどる」考え方が必要になるので、計算の練習にも、筋道を立てて考える練習にもなります。このページの問題は、どれも答えが1つだけに決まるものだけを出しています。

虫食い算のルール

決まりはとてもシンプルです。□には0〜9の数字が1つずつ入り、筆算全体が正しい計算になるようにします。ただし、2けた以上の数のいちばん上の位（左はし）は0になりません。□どうしは同じ数字でもかまいません。かけ算でかける数が2けたのときは途中の2行（部分積）、わり算では途中の引き算の行まで、学校で習う筆算の書き方をそのまま使います。わり算は、どの問題も割り切れる（最後の行が0になる）ものです。

覆面算のルール

覆面算では、筆算の数字がカタカナ・ひらがな・記号のどれかに置きかわっています（設定で選べます）。同じ文字には同じ数字、ちがう文字にはちがう数字が入ります。虫食い算と同じく、いちばん上の位は0になりません。問題によっては、いくつかの文字の数字が最初から分かっていて、その数字は左上に小さく文字を添えて表しています。分かっている数字はほかの文字には使えないので、そこも手がかりになります。

このゲームの画面の使い方

□（覆面算では文字のマス）を押して選び、下の数字のボタンを押すと数字が入ります。同じ数字をもう一度押すと消えます。覆面算では、ある文字に数字を入れると、その文字があるマスに全部まとめて入ります。筆算の下にある「文字の表」でも文字を選べ、数字のボタンの右下には、その数字をどの文字に使っているかが小さく出ます。キーボードなら、矢印キーでマスを移り、数字キーで入れ、Backspace で消せます。Z で元に戻す、H でヒントです。

「ヒント」を押すと、□を1つ（覆面算では1文字）開けます。開けた数字は緑色で、消したり変えたりはできません。入れた数字にまちがいがあるときは、ヒントは先にそのマスを赤で知らせます。「まちがいチェック」をオンにすると、答えとちがう数字を入れたときにすぐ赤く表示されます。オフのときは何も知らせないので、自分の力で確かめたいときに向いています。覆面算で2つの文字に同じ数字を入れたときは、ルールに合わないことを知らせ、波線で示します。

問題の種類と学年の目安

虫食い算は、筆算の種類で8つに分けています。学年は、その計算の筆算を学校で習うころの目安です（3けたのたし算・ひき算と、2〜3けたに1〜2けたをかけるかけ算は小学3年、1〜2けたでわるわり算は小学4年）。虫食い算は計算を逆からたどるので、習ったばかりのころは少しむずかしく感じるかもしれません。最初は□の少ない問題から始めてみてください。

覆面算は5つです。2けた・3けたのたし算は、最初からいくつかの文字の数字が分かっているので、ルールを覚えるのにちょうどよい問題です。中学受験レベルの4けた＋4けた・かけ算は、分かっている文字が0〜1つしかなく、くり上がりや偶数・奇数まで使って考える本格的な問題です。

解き方のコツ

1. 一の位から順に決める

筆算は一の位から計算するので、虫食い算も一の位から考えるのが基本です。一の位が決まると、十の位へのくり上がり（ひき算ならくり下がり）が分かり、次の位の□が決めやすくなります。上の図の例では、8＋□の一の位が2なので□は4、ここで1くり上がることが分かります。

2. いちばん大きい位から、けたの数を見る

3けた＋3けたの答えが4けたなら、答えのいちばん上は必ず1です。逆に、答えが3けたのままなら、百の位どうしをたしても10より小さいことが分かります。かけ算でも「□□×7 が3けた」なら、かけられる数は15以上だと分かります。けたの数は見落としやすい大きな手がかりです。

3. かけ算は途中の2行を使う

2けたをかけるかけ算では、途中の2行がそれぞれ「かけられる数×かける数の一の位」「かけられる数×かける数の十の位」になっています。一の位どうしをかけた数の一の位だけを見ると、□の数字がしぼれます。たとえば「7×□の一の位が2」なら□は6しかありません。九九の表で、一の位が同じになる組み合わせを思い出すのがコツです。

4. わり算は行の意味を考える

わり算の筆算は、「わる数×商の1けた」を書いて、ひいて、次の数をおろす、のくり返しです。割り切れる問題では最後の行が0なので、その上の2行は同じ数です。また、引き算の行はどれも「わる数の何倍か」なので、わる数の九九の段で考えると□がしぼれます。中学受験レベルの問題は、この性質を何度も組み合わせて解きます。

5. 覆面算は「けたが増えたら1」

覆面算でいちばんよく使う手がかりは、答えのけたが増えたときの「いちばん上は1」です。2つの数をたしたときのくり上がりは、どの位でも0か1しかないからです。1が決まったら、同じ文字のマスに全部1を入れ、ほかの文字は1になれないことも使います。ほかにも、ある位で「ア＋イ」の答えの位がまたアなら、イは0（下の位からくり上がりがあれば9）。同じ文字を2回たした数（ア＋ア）の一の位は偶数。このような決まりがよく効きます。

6. 行きづまったら、ありうる数字を書き出す

どうしても決まらないときは、1つの□や文字について「入りうる数字」を全部書き出し、1つずつ試してみましょう。矛盾が出たものを消していくと、残った1つが答えです。このゲームでは、ためしに入れてみて「元に戻す」で戻すこともできます。ヒントを使って1つだけ開けると、そこから先が一気に解けることもあります。

今日の問題と印刷

「今日の問題」は、日付ごとに決まった1問です。虫食い算と覆面算のそれぞれにあり、同じ日ならだれが遊んでも同じ問題なので、家族や友だちとタイムをくらべられます。むずかしさは曜日で変わり、週の初めはやさしめ、土曜日がいちばんむずかしい問題です。続けてクリアすると、連続クリアの日数が記録されます。

「印刷用」ボタンを押すと、白黒の見やすいプリントのページが開きます。パズルの種類・問題の種類・1枚の問題数（1・2・4・6問）を選んでブラウザの印刷機能で印刷でき、答えのページも付けられます。覆面算のプリントには、文字ごとに答えを書きこむ欄があります。家庭学習や授業のプリント、すきま時間の頭の体操にどうぞ。

よくある質問

答えは本当に1つだけ？

はい。問題を出す前に、かくれた数字に入りうる組み合わせを全部調べて、筆算が正しくなる答えが1つしかないことを確かめています。覆面算も、文字への数字の当て方を全部調べて確かめています。そのため、筋道を立てて考えれば、当てずっぽうに頼らなくても必ず解けます。

□に同じ数字が2回入ってもいいの？

虫食い算ではかまいません。□どうしに決まりはなく、筆算全体が正しければよいからです。同じ数字が何度も入る問題もあります。一方、覆面算では、ちがう文字にはちがう数字が入るので、同じ数字を2つの文字に使うことはできません。

記録はどう残る？

問題の種類ごとに、正解した数・ヒントなしで正解した数・いちばん速いタイム・平均のタイムを記録します。ベストタイムに入るのは、ヒントと「答えを見る」を使わずに解いたときだけです。記録は使っている端末のブラウザの中だけに保存され、どこにも送られません。

途中でやめても続きから遊べる？

同じ端末・同じブラウザで開けば、「続きから」で入れた数字や経過時間のまま再開できます。ほかのタブを見ている間は時計が止まります。今日の問題は、日付が変わると新しい問題になります。

音は出る？

はじめは音が出ない設定です。ゲーム画面の「音：オフ」を押すと、数字を入れたときや正解したときに効果音が鳴ります。

虫食い算・覆面算の由来

虫食い算の名前は、古い本の文字が虫に食われて読めなくなったようすにたとえたものだといわれます。日本では江戸時代の和算の本にすでに同じような問題が見られ、海外でも計算の練習として古くから親しまれてきました。数字がほとんど□で、わずかな数字だけが見えている芸術的な作品も知られています。覆面算は、数字が文字の「覆面」をかぶっていることからの名前で、英語では文字が意味のある単語になっているものを特に alphametic（アルファメティック）と呼びます。20世紀の初めごろから雑誌のパズルとして人気が広がり、今では中学受験の算数でもおなじみの問題になっています。