一筆書きパズル

一筆書きパズルの遊び方

一筆書きは、紙からペンをはなさずに、同じ線を2度なぞらないで図形をかき上げる遊びです。このゲームでは、点と線でできた図形の線を全部なぞる「線の一筆書き」、マス目のすべてのマスを1回ずつ通る「マスの一筆書き」、図形を見て一筆書きできるかどうかを当てる「描けるか当てる」の3つで遊べます。問題は遊ぶたびに新しく作られ、「線の一筆書き」と「マスの一筆書き」は、どの問題も必ず解けるものだけが出ます。

線の一筆書き

まず、好きな点を押して書き始めます。そこから、となりの点へ線の上を指やマウスでなぞると、なぞった線が青く太くなります。となりの点を押すだけでも進めます。一度なぞった線はもう通れません。画面の上には残りの線の本数が出ていて、0本になればクリアです。

行き止まりになってしまったら、来た線をなぞってもどりましょう。もどった分の線は消えます。なぞった線の上を押すと、その線の手前まで一度にもどれます。「1本もどる」ボタンやBackspaceキーでは1本ずつ、「最初から」ボタンでは書き始めの点を選ぶところからやり直せます。キーボードでは、矢印キー（ななめの線はQ・E・Z・C）でその向きの線へ進みます。

マスの一筆書き

マスの一筆書きでは、緑の「スタート」のマスから、上下左右のとなりのマスへなぞって進みます。×のマスは通れません。同じマスには2度入れないので、通ったマスはうすい青になり、線でつながっていきます。×以外のマスを全部1回ずつ通ればクリアです。終わりのマスは決まっていないので、どこで終わってもかまいません。通ったマスを押すと、そこまでもどれます。

描けるか当てる

図形を1つずつ見て、一筆書きで「描ける」か「描けない」かを当てるクイズです。1回5問で、描ける図形と描けない図形がまざって出ます。答えると、点の中にその点から出ている線の数が出て、どうして描ける（描けない）のかが分かります。描ける図形は「描き方を見る」で、描く順番を番号つきで見られます。

ヒント・答え・今日の問題

迷ったら「ヒント」を押しましょう。書き始める前なら、書き始めてよい点にオレンジの輪が付きます。途中なら、次になぞる1本（マスなら次の1マス）が出ます。もう最後までなぞれない形になっているときは、どこまでもどればよいかが赤い点線で出ます。「答えを見る」を2回続けて押すと、答えの順番が番号つきで出ます。「今日の問題」は日付ごとに決まった問題で、同じ日ならだれが遊んでも同じ問題です。

描けるかどうかは「奇数の点」で決まる

線の一筆書きには、見ただけで描けるかどうかが分かる決まりがあります。まず、それぞれの点から何本の線が出ているかを数えます。線が1本・3本・5本…と奇数本出ている点を「奇数の点」、2本・4本…と偶数本出ている点を「偶数の点」と呼ぶことにします。線がひとつながりになっている図形なら、奇数の点が0個か2個のときだけ一筆書きができます。

どうしてこうなるのかは、点を「通りぬける」ときのことを考えると分かります。とちゅうで点を通るときは、入ってくる線と出ていく線を1本ずつ使います。何度通っても2本ずつ使うので、通りぬけるだけの点は線が偶数本でなければなりません。線が奇数本の点では1本があまるので、そこは書き始めるか、書き終わる点になるしかありません。書き始めと終わりは合わせて2つまでなので、奇数の点が4個以上あると描けないのです。また、奇数の点が1個や3個の図形はありません。線1本には両はしが2つあるので、点ごとの線の数を全部たすと必ず偶数になるからです。

難しさの違い

線の一筆書きは、難しくなるほど線が増え、分かれ道の多い点や、同じ2つの点を結ぶ曲がった線が出てきます。なんとなくなぞっていると行き止まりになりやすい図形が選ばれます。マスの一筆書きは、難しくなるほどマスが増え、答えになる道の数が少ない問題が出ます。「描けるか当てる」も、難しさによって図形の大きさが変わります。今日の問題は「ふつう」の難しさです。

解くためのコツ

1. 奇数の点から書き始める

線の一筆書きで最初にするのは、点ごとの線の数を数えることです。奇数の点が2つあれば、書き始めはそのどちらか。偶数の点から書き始めると、どんなにうまくなぞっても最後に線が残ります。奇数の点がなければ、どこから書き始めても大丈夫です。

2. 1本しかない「橋」は最後に渡る

図形の2つのかたまりを1本だけでつないでいる線は、一度渡るともうもどれません。渡る前に、こちら側の線を全部なぞり終えておきましょう。分かれ道で迷ったら、「この線を通ったら、残りの線が2つに分かれてしまわないか」を考えるのがコツです。

3. 終わりの点に早く着きすぎない

奇数の点が2つある図形では、書き始めなかったほうの奇数の点が終わりの点です。とちゅうでそこを通るのはかまいませんが、ほかに線が残っているうちに、その点で行き止まりにならないよう気をつけましょう。

4. マスは、行ける道の少ないマスから考える

マスの一筆書きでは、すみのマスや、×のマスにはさまれたマスのように、となりに通れるマスが少ない所が決め手になります。となりのマスが1つしかないマスは、そこで終わるしかありません。そういうマスが2つあったら、その道はもう答えになりません。後回しにしたマスが行き止まりにならないように、先に通っておきましょう。

5. マスの色を交互にぬって数える

マス目を、チェスの盤のように2つの色で交互にぬり分けたと考えます。となりのマスへ進むたびに色が変わるので、道は2つの色を交互に通ります。2つの色のマスの数がちがうときは、多い色から始めて多い色で終わるしかありません。手で解くときも、「残りのマスの色の数がそろっているか」を数えると、まちがった道に早く気づけます。

6. 小さなすき間を作らない

進むうちに、まだ通っていないマスが2つのかたまりに分かれてしまうと、どちらかにはもう行けません。かべや×のマスに沿って進み、通っていないマスがいつもひとつながりに残るようにすると、失敗が減ります。

よくある質問

線が交わっている所は、点と同じ？

いいえ。「描けるか当てる」には、星の形のように線どうしが交わっている図形が出てきますが、ただ交わっているだけの所は点ではありません。そこでは曲がれず、まっすぐ通りぬけます。点は白い丸でかかれた所だけです。

同じ2つの点を結ぶ線が2本あるときは？

曲がった線と、まっすぐな線は別の線です。どちらも1回ずつなぞる必要があります。指でなぞるときは、通りたい線の上をなぞると、そちらの線を選べます。

答えは1つだけ？

多くの問題には、答えがいくつもあります。「答えを見る」やヒントで出るのは、そのうちの1つです。ちがう順番でも、全部の線（全部のマス）を1回ずつ通れていれば正解です。

記録はどう残る？

時計は、書き始めたとき（マスでは最初に動いたとき）から進みます。遊び方と難しさごとに、クリアした回数・ヒントなしでクリアした回数・いちばん速いタイム・平均のタイムを記録します。ベストタイムに入るのは、ヒントと答えを使わなかったときだけです。記録は使っている端末のブラウザの中だけに保存され、同じ端末で開けば「続きから」で再開できます。

音は出る？

はじめは音が出ない設定です。ゲーム画面の「音：オフ」を押すと、線をなぞったときやクリアしたときの効果音が鳴ります。

一筆書きの由来

一筆書きの話でよく紹介されるのが、「ケーニヒスベルクの橋」の問題です。18世紀のプロイセンの町ケーニヒスベルク（今のロシアのカリーニングラード）には、川の中の島と両岸などを結ぶ7本の橋があり、「7本の橋をどれも1回ずつ渡って町を歩けるか」が話題になっていたと伝えられています。1736年、数学者のレオンハルト・オイラーは、陸地を点、橋を線に置きかえて考え、それができないことを示したとされます。上の図のように、4つの陸地にかかる橋の数は5本・3本・3本・3本で、奇数の点が4つあるからです。

点と線のつながりだけに注目するこの考え方は、のちに「グラフ理論」と呼ばれる数学の分野の始まりとされています。一筆書きできる道は、オイラーの名前をとって「オイラー路」とも呼ばれます。一方、マスの一筆書きのように、すべての「点（マス）」を1回ずつ通る道は「ハミルトン路」と呼ばれ、19世紀の数学者ハミルトンが考えた、正十二面体の頂点をめぐる遊びにちなむといわれています。線の一筆書きには奇数の点という見分け方がありますが、すべての点を1回ずつ通る道には、そのような簡単な見分け方が知られていません。マスの一筆書きが、ためしながら考える楽しさのあるパズルになっているのはそのためです。